培优专题七：二次函数
一、知识储备：
二次函数的概念、三种解析式的互化、对称轴或顶点坐标公式．
二、例题精讲：
板块一 数形结合解决求字母取值范围的问题
例1．已知二次函数y＝x2＋4x－1，求它的最小值(尝试用不同的方法解答)．
变式1．已知二次函数y＝x2＋4x－1，
(1)当－6≤x≤－4时，函数值y的取值范围为 ．
(2)当－4≤x≤－1时，函数值y的取值范围为 ．
(3)当－1≤x＜2时，函数值y的取值范围为 ．
(4)当m≤x≤m＋2时，函数值y的最小值是1，求m的值．
变式2．已知二次函数y＝m(x－1)2－m，当－1≤x≤4时，y的最小值是－4，求m的值．
板块二 代入消参解决求代数式的最值问题
例2．已知n＝m－1，求代数式 m2＋4m－1＋n的最小值．
变式．已知n2＝m－1，求代数式m2＋4m－1＋2n2的最小值．
板块三 灵活运用相关知识解决二次函数的综合题
(2025·北京改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)，过点P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．
(1)求点M，N的坐标(用含a，t的式子表示)；
(2)已知在点P从点O运动到点A(2a，0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
三、当堂反馈：
1．已知n2＝m＋n，求代数式m2＋4m－1＋2n2－2n的最小值．
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－6ax＋2(a＞0)交直线y＝ax＋2于点A，B(点A在点B的左侧)，过点P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点M(点M不与A，B重合)，连接MA，MB．已知在点P从点O运动到点C(2a，0)的过程中，△ABM的面积随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
