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培优专题5：求锐角三角函数值

一、知识储备

1．锐角三角函数的定义；

2．利用已有或构造的直角三角形，也可以利用等角转换，结合三角函数定义求三角函数值；

3．数形结合、设参的思想；

二、例题精讲

考点一：紧扣定义求三角函数值

例1 （2025•通州区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB(CD)＝5(4)．

（1）求∠B的正弦值．（2）连接AC，求∠ACD的正弦值．

例2 利用构图的方法求：（1）tan15°；（2）求tan22.5°．

考点二：构造直角三角形三角函数值

例3 （2024•通州区二模改编）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处．

（1）如图1，若点Q在线段EF上，求cos∠ABP的值；

（2）如图2，若点Q在线段GH上， 求cos∠ABP的值；

例4（2023•如皋市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝5(4)．延长AB到D，使BD＝2(1)AB，连接CD，求tan∠BCD ．

当堂反馈

1．（2016•南通）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则

cos A＝       　 ．

2．（2023•南通）如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则sin∠ABE＝　   　 ．

3．（2024•海安市二模）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l₃，l₄，l₂，l₁上．若直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄且间距相等，AB＝4，BC＝3，求tanα的值．

4．如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求sin∠ACE ．