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培优专题4：代数推理

一、 知识储备

等式性质，不等式性质，非负数，完全平方公式

二、例题精讲

例1．已知a < b < 0，试比较a²－a 与b²－b的大小.

例2．已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝a(b)，mn＝a(c)．证明：b²－12ac≥0．

例3．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案：

方案（一）：第一次提价p%，第二次提价q%；

方案（二）：第一次提价q%，第二次提价p%；

方案（三）：第一、二次提价均为 2(p＋q)%；

其中p，q是不相等的正数，试比较三种提价方案．

例4．若正整数对（m，n）满足：m+n=a²，m－n=b²（a，b为正整数），则称（m，n）为平方匹配数对.

         例：17+8=25=5²，17－8=9=3²，则（17，8）为平方匹配数对.

        （1）判断（26，10）是否为平方匹配数对；

        （2）若（m，n）是平方匹配数对，求证：（m²+mn，n²+mn）也是平方匹配数对.

1. 当堂反馈

   1. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．哪种小麦的单位面积产量高？

   

    

    

    

    

    

    

1. 已知实数a，b满足a²+ab+b²＝1，若p=ab+2a+2b，则p的最小值为 .

    

    

2. 已知m²=2n+t，n²=2m+t，且m≠n，t为常数，求t的取值范围.